题目：20个桶，每个桶中有10条鱼，用网从每个桶中抓鱼，每次可以抓住的条数随机，每个桶只能抓一次，问一共抓到180条的排列有多少种 （也可求概率）。

来自与：，跟着这位前辈学的。

分析一下

     这道题其实可以这样理解，假设我已经抓到了180条鱼，而这180条鱼来自20个桶中，反过来就是我们将这180条鱼放到20个桶中且要保证每个桶的鱼在（0-10）之间，有多少种方法。假设我们在前i个桶中抓取了k（0<=k<=10*i）条鱼，那么抓取180条鱼的排列种数就等于在剩下的（20-i）个桶中抓取（180-k）条鱼的方法加上前i个桶中抓取k条鱼的方法。

再想一下

     由于总共有200条鱼，我们抓走了180条鱼，那么还剩下多少条呢？显然是20条。再用上面的思维，我们就可以这样想，将20条鱼放回这20个桶中满足每个桶中的鱼（0-10），有多少种放法。这里当然是因此了一个排列问题而不是组合问题，因为我第一个桶放1条鱼、第2个桶不放与第一个桶不放、第二个桶放1条鱼，是两种的不同的放法。

     这样分析下来，感觉就是一个跳台阶问题：一个梯子有20步，每次可以跳0-10步，20步跳完多少中跳法（可选择不跳）。有关台阶问题，请看本博客：

编程思想

    思想其实跟完全背包问题类似，我们首先考虑第20个桶放多少鱼，那么我们就可以减去最后一个桶放的鱼数，再去考虑前面19个桶怎么放剩下的鱼。这样形成了一个递归，我们就可以很快写出如下代码。

 

//bucket，表示当前考虑到第几个桶，当然首先考虑第20个桶//fishN，表示当前有多少鱼//返回值表示有多少中方法int Func(int bucketN,int fishN){	if(bucketN<0 || fishN<0)return 0;//错误处理	if(bucketN == 1){		if(fishN>=0 && fishN<=10)//第1个桶里面放0-10的鱼，方法只有一种			return 1;		else{			return 0;  //其他用0种方法		}	}	int sum = 0;	for(int i=0; i<=10; ++i){		sum += Func(bucketN-1,fishN-i);//考虑前面bucket-1的组合，同时减掉当前放的鱼	}	return sum;}

 

 

 

递归优化

 

     上面的代码，其实有很多重复计算。下面我们简单的分析一下：

F(20，20) = F(19，19)+ F(19，18).......; //考虑第20个桶放一条鱼和两条鱼的情况

F(19，19) = F(18，17)+.....;//第19个桶放2条鱼  ①

F(19，18) = F(18，17)+.....;//第19个桶放1条鱼  ②

     我们发现①和②都调用了F(18，17)，但是它们确实各算各的，这样就存在着很多类似的重复计算。该递归树，基本全是重复的点，这样时间复杂度被拖得很高。那么，我们只要设计一个数组来把计算好的值保存下来，这样避免了很多重复的计算。代码如下：

 

//bucket，表示当前考虑到第几个桶，当然首先考虑第20个桶//fishN，表示当前有多少鱼//返回值表示有多少中方法int dp[21][200] = {0};int FuncOptimize(int bucketN,int fishN){	if(bucketN<0 || fishN<0)return 0;	if(bucketN == 1){		if(fishN>=0 && fishN<=10)			return 1;		else{			return 0;		}	}	if(dp[bucketN][fishN] == 0){ //这个子过程没有被计算我们采取调用递归计算		for(int i=0; i<=10; ++i){			dp[bucketN][fishN] += FuncOptimize(bucketN-1,fishN-i);		}	}		return dp[bucketN][fishN];}

 

下面我们用我们熟悉的斐波拉契序列做一个实验，我们同样的优化方式来做，看下程序跑得快了多少?

 

#include
    
     #include 
     
      using namespace std;long long fibonacci[100];long long Fibonacci(int n){	if(n == 0)return 1;	if(n == 1)return 1;	return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}long long FibonacciOptimize(int n){	if(n == 0)return 1;	if(n == 1)return 1;	if(fibonacci[n] == 0){		fibonacci[n] = FibonacciOptimize(n-1) + FibonacciOptimize(n-2);	}	return fibonacci[n];}int main(){	DWORD seconds = GetTickCount();	cout<
      
       <
      
     
    

这个结果很是满意啊。

 

动态规划实现

     我们知道这种自顶向下的递归，都可以转换为动态规划自底向上的思想。就是我们递归的值是有下面的值一步步垒起来的，那么我只需要一开始就把下面的值算好，保持在那里，然后再算上面的时候，直接拿过来用，这就很快了。据我了解，背包问题的编程思路跟这道题是一摸一样，只不过背包走到第i种物品的时候，第i种物品的重量已经固定，而我们这道题是第i个桶取值是一个范围，那我们只要把这里范围都扫一遍就好了。

 

#include
    
     #include 
     
      using namespace std;int dp[21][200] = {0};int FuncDp(int bucketN,int fishN){	int i,j,k;	for(i=0; i<=10; ++i)		dp[1][i] = 1;	for(i=2; i<=bucketN; ++i){		for(j=0; j<=fishN; ++j){			for(k=0; k<=10&&j-k>=0; ++k){//可以取0-10				dp[i][j] += dp[i-1][j-k];			}		}	}	return dp[bucketN][fishN];}int main(){	cout<
      
       <
      
     
    

 

    其实，代码还可以更简练，仔细想想，就是初始化状态的方法；其实初始化合法状态完全可以这样想，问题始终都是分解成子问题的，根据递归的实现方法，只有分解到0个桶装0条鱼才是合法的，那么我们就初始化这一个状态为合法即可，然后从第一个桶开始向上计算，代码如下：

 

#include 
    
     using namespace std;int dp[21][200];int i, j, k; void main(){    int bucketN, fishN;    scanf("%d %d", &bucketN, &fishN);     dp[0][0] = 1;  /* 初始化合法状态 */     for(int i = 1; i <= bucketN; ++i)  /* 从第一个桶开始 */    {        for(int j = 0; j <= fishN; ++j)        {            for(int k = 0; k <= 10 && j-k >= 0; ++k)            {                dp[i][j] += dp[i-1][j-k];            }        }    }    printf("%d\n",dp[bucketN][fishN]);}
    

 

 

想不通我的空间优化怎么不成功，类似背包问题的优化，555555555555555555。有大神可以帮忙解释一下啊？

 

#include
    
     #include 
     
      using namespace std;int dp[200] = {0};int FuncDp(int bucketN,int fishN){	int i,j,k;	for(i=0; i<=10; ++i)		dp[i] = 1;	for(i=2; i<=bucketN; ++i){		for(j=fishN; j>=0; --j){//反着遍历，防止覆盖			for(k=0; k<=10&&j-k>=0; ++k){//可以取0-10				dp[j] += dp[j-k];			}		}	}	return dp[fishN];}int main(){	cout<
      
       <